Rabu, 14 Oktober 2015
Kenapa kita mempelajari matematika?
Untuk apa sih matematika dalam kehidupan
seahari – hari ?
Pertanyaan
– pertanyaan diatas mungkin pernah terlintas dalam pikiran kalian, bahkan teman
– teman sekolah kalian yang sudah kesal sekali
dengan pelajaran matematika mungkin ada yg melontarkan pertanyaan itu juga .
Setiap
yang ada di bumi ini pasti ada manfaatnya , bahakan sampah pun ada manfaatnyaa
apalagi matematika . Tentu manfaat yang diraskan setiap orang berbeda – beda
tergantung kebutuhannya . Tidak salah juga sih berpendapat bahwa matematika
tidak selalu digunakan untuk memecahkan kehidupan sehari – hari . Tapi
matematika sendiri muncul karna adanya permasalahan kehidupan.
Kali
ini saya akan menjabarkan seberapa pentingnya salah satu dari materi matematika
yang paling dasar yaitu HIMPUNAN . Sebelum menjabarkan pentingnya himpunan ,
kita harus mengenal terlebih dahulu
Apa sih Himpunan Itu ?
Untuk
mempermudah nya , saya akan bagi menjadi beberapa sub-sub pokok
1. Pengertian
Himpunan
2. Cara
Penulisan Himpunan
3. Macam
– macam Himpunan
4. Keanggotaan
Himpunan
5. Operasi
Pada Himpunan
6. Manfaat
Himpunan
A. Pengertian
Himpunan
Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang
matematika . Secara sederhana, himpunan
artinya kumpulan benda (objek). Pernahkah kamu memperhatikan benda-benda
yang ada di rumahmu?. Jika kamu perhatikan, ternyata di rumahmu terdapat
beberapa kumpulan benda yang jelas batasannya, antara lain:
1.
Piring
2. Keluarga
3. Gelas dan sebagainya
Suatu kumpulan benda (objek) tertentu dengan batasan yang jelas
dalam matematika disebut Himpunan.
Dalam matematika,
suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, ..., Z. Benda-benda (objek) dari suatu himpunan tersebut ditulis di
antara kurung kurawal dan dipisah dengan tanda koma, misalnya:
·
A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J, A = {Januari, Juni, Juli}.
Perhatikan untuk himpunan di atas:
Himpunan A =
{Januari, Juni, Juli}
Januari merupakan
anggota A ditulis Januari Î A. Maret bukan anggota A (karena nama bulan tidak dimulai
dengan huruf J) ditulis Maret Ï A.
B.
Cara Penulisan Himpunan
Ada empat cara untuk
menyatakan suatu himpunan
1) Dengan
menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda
kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.
Cara ini disebut juga cara Tabulasi.
Contoh: A = {a, i, u, e, o}
B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis,
Jumat, Sabtu, Minggu}
2) Menyebutkan
syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.
Contoh: ambil bilangan asli kurang
dari 5
A = bilangan asli kurang dari 5
3) Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat
umum (role) dari anggotanya.
Contoh Soal :
Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan
tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :
1. A adalah
himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Penyelesaian :
· Dengan menulis tiap-tiap
anggotanya
A
= {2, 3, 4, 5}
· Dengan menulis
sifat-sifatnya
A = {x | 1
< x < 6, x Î Asli
4) Himpunan
juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn).
Penyajian himpunan dengan diagram
Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun
1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan
lingkaran di dalam segiempat tersebut.
C. Macam-Macam Himpunan (Menurut buku
Ensiklopedia Matematika)
1) Himpunan
Bagian (Subset).
Himpunan
A dikatakan himpunan bagian (subset) dari
himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota
dari B.
Dinyatakan dengan simbol
: A ⊂ B
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4}
maka B ⊂ A
Sebab setiap
elemen dalam B merupakan elemen dalam A,
tetapi tidak sebaliknya.
2) Himpunan
Kosong (Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang
tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan { } atau Φ.
3) Himpunan
Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau
“S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang
dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.
4) Himpunan
Berhingga
Himpunan berhingga adalah himpunan yang
banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah. Himpunan
berhingga bila dibagi hasilnya berupa bilangan contoh 4 : 2 = 2
5) Himpunan
Tak Berhingga
Himpunan A disebut himpunan tak
berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila
anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan
berakhir. himunan tak terhingga bila di bagi tak terhingga
contoh 4/~ = ~
6) Himpunan
Sama (Equal)
Bila setiap anggota
himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e}
B={ c,d,e }
Maka A = B
7) Himpunan
Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang
anggota-anggotanya tidak ada yang sama.
Contoh C = {1, 3, 5, 7} dan D
= {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua
himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak
mempunyai satu pun anggota yang sama
8) Himpunan
Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen
dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di
misalkan U = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan
komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis : AC
= {x│x Î U, x Ï A}
9) Himpunan
Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen
adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan
sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,
Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n (B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari
himpunan tersebut, bila himpunan A beranggotakan 4 karakter maka himpunan
B pun beranggotakan 4.
D. Keanggotaan Himpunan (Menurut Buku
Ensiklopedia Matematika)
Himpunan selalu dinyatakan dengan
huruf besar,seperti A,B,C,dan seterusnya. Untuk menyatakan anggota suatu
himpunan digunakan lambang “Δ (baca:
anggota) sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan
lambing” Ï” (baca:
bukan anggota).
A = {a, b, c} menyatakan
bahwa himpunan A anggota-anggotanya adalah a, b, dan c.
Ditulis: a Î A; b Î A; dan c Î A
Bukan keanggotaan suatu himpunan A.
Jika A = {a, b, c} maka d
bukan anggota himpunan A.
Ditulis: d Ï A. Banyaknya
anggota himpunan
Banyaknya
unsur dari suatu himpunan disebut bilangan cardinal dari himpunan tersebut │A│dibaca
“banyaknya anggota himpunan A, kardinal (A).
Contoh Soal:
Tentukan kardinalitas dari himpunan berikut :
1.
B = {x | 1 < x < 6, x Î Asli}
Penyelesaian
:
B = {2, 3, 4,
5}
n(B) = 4
E. Operasi pada Himpunan
a)
Gabungan
Gabungan (union) dari
himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota
himpunan A atau himpunan B.
Notasi : A È B = {x | x Î A Ú x Î B}
b) Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A
dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A
dan anggota himpunan B.
Notasi : A Ç B = {x | x Î A Ù x Î B}
c) Komplemen
Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta
S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A.
Notasi : Ac = {x | x Î S Ù x Ï A} atau = {x | x Î S Ù x Ï A}
d) Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang
anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih
himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A.
Notasi : A – B
= {x | x Î A Ù x Ï B} atau A – B =
A Ç
e) Beda Setangkup
Beda Setangkup (symetric difference) dari
himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya ada pada himpunan A atau B,
tetapi tidak pada keduanya.
Notasi : A Å B = (A È B) – (A Ç B) atau : A Å B = (A – B) È (B – A)
Contoh:
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka A + B = { 3,
4, 5, 6 }
F. MANFAAT MEMPELAJARI HIMPUNAN
DALAM KEHIDUPAN SEHARI – SEHARI
Setelah
mengenal lebih jauh himpunan , mungkin diantara para pemabaca sudah ada yg bias
menangkap seberapa penting nya himpunan .Himpunan sangat penting sekali karna himpunan sendiri merupakan dasar dari segala ilmu Matematika.
Dengan
mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan
memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika
memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak
kegunaan logika antara lain:
1.
Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional,
kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2.
Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3.
Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan
mandiri.
4.
Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas
sistematis.
5.
Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir,
kekeliruan serta kesesatan.
6.
Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.
